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Colloquium Mathematiques Orsay Octobre 2015 - Florence Merlevede

Colloquium du Dpartement de Mathmatiques dOrsay : Octobre 2015. Florence Merlevde (Universit de Marne-la-Valle, LAMA) nous parle de "Distribution spectrale empirique de grandes matrices de covariance".

Rsum : Les matrices alatoires apparaissent dans beaucoup de domaines comme la statistique mathmatique, linformatique ou encore la mcanique quantique, et leur distribution spectrale empirique a ainsi fait lobjet de nombreux travaux. On peut citer en particulier les travaux de Wishart dans les annes 1930 concernant les grandes matrices de covariance ou encore ceux de Wigner dans les annes 1950 concernant les matrices symtriques avec des entres indpendantes sous la diagonale. Dans cet expos, on sintressera plus particulirement au cas des grandes matrices de covariance. Depuis les travaux clbres de Marchenko et Pastur en 1967, de nombreux travaux ont t raliss visant relaxer lhypothse dindpendance des entres. Dans cet expos, on sattachera dans un premier temps rappeler les diffrentes mthodes permettant dtudier le comportement asymptotique de la distribution spectrale empirique de matrices alatoires symtriques et on sintressera au cas de grandes matrices de covariance associes un processus stationnaire de carr intgrable. On verra que dans le cas o le processus est rgulier, ltude de sa distribution spectrale empirique se ramne celle dune matrice de covariance associe un processus gaussien ayant la mme structure de covariance que le processus sous-jacent. Grce un rsultat de Trotter-Szeg sur les matrices de type Toeplitz, on verra alors que la distribution spectrale empirique des grandes matrices de covariance associes un processus stationnaire, centr, de carr intgrable et rgulier, converge presque srement vers une distribution non alatoire ne dpendant que de la densit spectrale du processus sous-jacent. Cette distribution limite est alors caractrise via sa transforme de Stieltjes. Les conditions de rgularit imposes sont trs faibles et ne requirent aucune vitesse de convergence vers zro des covariances. Elles sont en particulier satisfaites ds que le processus stationnaire est une fonctionnelle dune suite iid ou est mlangeant au sens de Rosenblatt.

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